\( a_k = \ant { \dfrac {n^k} k } \)

(*) Предварительные списки задач международных олимпиад (IMO) — это сотни различных оригинальных заданий, довольно сложных, необычных как по формулировке, так и по решению. Оно и понятно, ведь задачи представляются составителями со всего мира. Рассмотрим задачу из шортлиста IMO/2014 (представлена математиками Гонконга).

31. Пусть \( n \in \mathbb N_{\geqslant 2} . \) Докажите, что в числовой последовательности \[
a_k = \ant { \dfrac {n^k} k } ,
\ k = 1, \, 2, \, \ldots
\tag {31.1}
\] встречается бесконечное количество нечетных элементов.

Доказательство. (При составлении доказательства использованы материалы дискуссии из форума http://artofproblemsolving.com.)

1) \( n \) — нечетное число. В этом случае достаточно взять в качестве подпоследовательности (31.1) элементы с индексами (здесь и далее \( i \in \mathbb N \)) \[
k = n^i .
\tag {31.2}
\] Нетрудно видеть, все такие элементы \( a_k \) — нечетные числа.

2) \( n \) — четное число. Здесь желательно догадаться, что число вида \[
\dfrac {(2x)^a-1} {2x-1} = \ant {\dfrac {(2x)^a} {2x-1}}
\tag {31.3}
\] будет целым и нечетным при \( x, \, a \in \mathbb N_{\geqslant 2} . \)

2.1) Пусть \( n \) — четное, большее или равное \( 4 . \) Рассмотрим подпоследовательность (31.1) с индексами \[
k = n^i (n-1) .
\tag {31.4}
\] Тогда \[
a_k = \ant { \dfrac {n^k} k } =
\ant { \dfrac {n^{n^i (n-1)}} {n^i (n-1)} } =
\ant { \dfrac {n^{n^i (n-1)-i}} {n-1} }
\ \mbox { — нечетное число.}
\]
2.2) Если \( n = 2 , \) то можно рассмотреть отдельно случай \(
a_k = \ant {\dfrac {2^k}k} .
\) В этом случае возьмем \[
k = 3 \cdot 2^{2i} .
\tag {31.5}
\] Тогда \[
a_k = \ant {\dfrac {2^k}k} =
\ant {\dfrac {2^{3 \cdot 2^{2i}}}{3 \cdot 2^{2i}}} =
\ant {\dfrac {2^{3 \cdot 2^{2i}-2i}}3}
\ \mbox { — нечетное число, см. (31.3)} .
\]
А можно и усложнить формулу (31.4), например, \[
k = n^{2i} (n^2-1) .
\tag {31.6}
\] Нетрудно видеть, что формула (31.5) — частный случай формулы (31.6).

\( \color{gray}{\blacksquare} \)