\( x + \ant x + x^2 + \ant {x^2} = x^3 + \ant {x^3} \)

Недавно в форуме http://artofproblemsolving.com было приведено уравнение, решение которого удалось «оптимизировать» и уточнить, используя свойства а. и м.

32. Решите уравнение \[
x + \ant x + x^2 + \ant {x^2} = x^3 + \ant {x^3} .
\tag {32.1}
\]

\( a_k = \ant { \dfrac {n^k} k } \)

(*) Предварительные списки задач международных олимпиад (IMO) — это сотни различных оригинальных заданий, довольно сложных, необычных как по формулировке, так и по решению. Оно и понятно, ведь задачи представляются составителями со всего мира. Рассмотрим задачу из шортлиста IMO/2014 (представлена математиками Гонконга).

31. Пусть \( n \in \mathbb N_{\geqslant 2} . \) Докажите, что в числовой последовательности \[
a_k = \ant { \dfrac {n^k} k } ,
\ k = 1, \, 2, \, \ldots
\tag {31.1}
\] встречается бесконечное количество нечетных элементов.

\( \ant x ^4 + \ant y ^4 + \ant z ^4 \geqslant 243 \)

Во многом аналогичное задачам из предыдущего сообщения неравенство с Московской областной олимпиады 2002/2003, 8-ой класс (автор — А. Храб­ров).

30. Сумма положительных чисел \( x , \) \( y \) и \( z \) равна \( 11 . \) Докажите неравенство \[
\ant x ^4 + \ant y ^4 + \ant z ^4 \geqslant 243 .
\tag {30.1}
\]

\( x^{\ant x} + y^{\ant y} \geqslant 14 \)

В 2011 году 9-му классу в первом туре Санкт-Петербургской олимпиады была предложена следующая задача, 4-ая  из 5 (автор — А. Храбров).

28. Произведение положительных чисел \( x \) и \( y \) равно 7. Докажите неравенство \[
x^{\ant x} +  y^{\ant y} \geqslant 14 .
\tag {28.1}
\]

\( \bigant {a-2} \cdot \bigant {a^2+2a+4} = \bigant {a^3-8} \)

(Данное сообщение является продолжением предыдущего поста.)
В том же 2005 году на Санкт-Петербургской олимпиаде 10-му классу в 1-ом туре была предложена следующая задача (автор — А. Голованов).

26. Вещественное число \( a > 2 \) таково, что \[
\bigant {a-2} \cdot \bigant {a^2+2a+4} = \bigant {a^3-8} .
\] Докажите, что \(
3 \mant a \ant a ^2 < 1.
\)

\( \bigant a \cdot \bigant {a^2} = \bigant {a^3} \)

В 2005 году в 1-ом туре Санкт-Петербургской олимпиады для 8-го класса предлагалась довольно заковыристая задача, 4-ая из 5 (автор — А. Го­ло­ва­нов).

24. Дано число \( a > 30 . \) Известно, что \[
\bigant a \cdot \bigant {a^2} = \bigant {a^3} .
\] Докажите, что \(
\mant a \leqslant \dfrac 1 {2700}.
\)

Решим задачу в общем виде (такая формулировка пригодится в следующем сообщении).

25. Пусть для всех \(
a \in \mathbb R_{\geqslant 3}
\) выполняется равенство \[
\bigant a \cdot \bigant {a^2} = \bigant {a^3} .
\tag {25.1}
\] Докажите, что тогда имеет место неравенство  \(
\mant a < \dfrac 1 {3 \ant {a^2}}.
\)

\( n \sqrt d \,\Bigmant { n \sqrt d } > \dfrac52 \)

(*) В мае этого года проводилась 32-ая Балканская МО. Последней из четырех предложенных была следующая задача (8 из немногим более 100 участ­ни­ков справились с заданием).

23. Докажите, что среди любых 20-ти последовательных натуральных чисел найдется число \( d \) такое, что выполняется неравенство \[
n \sqrt d \,\Bigmant { n \sqrt d } > \dfrac52 ,
\ \mbox { где } n \in \mathbb N .
\tag {23.1}
\]

\( \ant x + \ant {2x} + \ldots + \ant {nx} = n^2 \)

(*) Предлагаю вам «принять участие» в математической олимпиаде Samanyolu International Mathematics Competition (SIMC/1996), г. Анкара (Турция).

22. Решите уравнение \[
\ant x + \ant {2x} + \ldots + \ant {nx} = n^2 ,
\ \mbox { где } n \in \mathbb N .
\tag {22.1}
\]

Условие равносильности $[f(x)]=[g(x)]$ и $\{f(x)\}\geqslant\{g(x)\}$

Поскольку любое действительное число \( x \) представляется единственным способом в виде суммы антье и мантиссы

\[ x = \ant x + \mant x , \]

может создаться впечатление, что переход от антье к мантиссе (и обратно) — очевидный прием. Во многих случаях так дело и обстоит. Однако в математике очевидное не всегда является очевидным. На днях, решая одну из задач, удалось вывести несложное, но любопытное утверждение. Но сначала рассмотрим следующую задачу.

20. Докажите равносильность неравенства \[
\bigmant {\sqrt x} \geqslant \bigmant {\sqrt {x-1}}
\tag {20.1}
\] и уравнения \[
\bigant {\sqrt x} = \bigant {\sqrt {x-1}} .
\tag {20.2}
\]

Добавлено тождество Чебышёва (задача 172)

Пафнутий Львович Чебышёв — великий русский математик и механик (1821-1894), достигший выдающихся результатов в различных разделах математики, автор знаменитый работы «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины». В этой работе впервые показано тождество Чебышёва (см. задачу 172), в котором исследуется функция \[
T (x) =
\sum_{k \leqslant x} \ln k =
\sum_{k \leqslant x} \ln \ant x ! = \ldots
\]

Уточнение формулировки задачи 251

«Не скажу за всю Одессу», а мне приятно, когда читатели находят ошибки или опечатки математического толка. Значит, не только перелистывают. Пер­вый такой мой ляп заметила Т. ­­Пашутина. Тамара, большое спасибо! См. обновленную формулировку задачи 251 (нумерация задач сдвинулась, поскольку добавлено тождество Чебышёва — задача 172).

19. Решите уравнение \[
\ant{ \dfrac23 \sqrt{4x-x^2} } = x \sqrt2 . \]

Уравнение в натуральных числах \( [na]=b^m , \) где \( a \in \mathbb R , \) \( b \in \mathbb N_{\geqslant 2} \)

Последовательность вида \( \ant {an} , \) где \( a \in \mathbb R , \) однозначно определяется чис­лом \( a \) (и наоборот), поэтому называется спектром действительного числа, другое название — последовательность Битти, подробнее см. раздел 22 задачника «А. и м.»
Задачи на эти последовательности почти всегда неординарные, например, задача с олимпиады The USA Mathematical Talent Search (USAMTS) 2008-2009.

18. Пусть \( b \in \mathbb N_{\geqslant 2} \) и \( a \in \mathbb R \) такие, что выполняется условие \(
\dfrac 1a + \dfrac 1b > 1 .
\) Докажите, что числовая последовательность \[
\ant {a} , \ \ant {2a}, \ \ant {3a}, \ \ldots
\] содержит бесконечное количество членов вида \(
b^m \ (m \in \mathbb N) .
\)