Вы­чис­ли­те сумму \( \sum \limits _{k=0} ^{pq-1} (-1)^{[k/p]+[k/q]} , \) где \( pq \) — четное число

(*) На математической олимпиаде среди студентов университетов в 2013 году была предложена следующая задача (2-ая из 5), автор — А.Болбот, Но­во­си­бир­ский государственный университет. Разделим задачу на две части с незначительными изменениями.

13. Пусть \( p \) и \( q \) — взаимно простые числа и \( pq \) — четное число. Вы­чис­ли­те сумму \[
\ \ \sum\limits_{k=0}^{pq-1}
(-1)^{\left[ \frac kp \right] + \left[ \frac kq \right]} .
\tag {13.1}
\]

Решение. Утверждается, что при \( 0 \leqslant i < \dfrac {pq}2 \) выполняется равенство \[
(-1)^{\left[ \frac ip \right] + \left[ \frac iq \right]} +
(-1)^{\left[ \frac {pq-1-i}p \right] + \left[ \frac {pq-1-i}q \right]} = 0 .
\tag {13.2}
\] Докажем данное утверждение. Покажем, что показатели степеней в (13.2) разной четности. Пусть \[
\ant { \dfrac ip } + \ant { \dfrac iq} \equiv a \pmod 2 ,
\ \mbox { где } a \in \{ 0; \ 1 \} .
\] Преобразуем другой показатель. \[
\ant { \dfrac {pq-1-i}p } + \ant { \dfrac {pq-1-i}q } =
\]\[
= p + q + \ant { -\dfrac {i+1}p } + \ant { -\dfrac {i+1}q } \equiv
\]\[
\equiv 1 + \ant { -\dfrac {i+1}p } + \ant { -\dfrac {i+1}q } \pmod 2 = \ldots
\] (поскольку \( p+q \) — нечетное число, что следует из условия задачи) \[ \ldots = -1 - \ant { \dfrac ip } - \ant { \dfrac iq} \equiv \ldots
\] (использовалось тождество из задачи 11) \[
\ldots \equiv -a -1 \equiv a -1 \pmod 2 .
\] Таким образом, показатели степеней в (13.2) разной четности. Значит, сумма (13.1) состоит из пар с нулевым значением.

Ответ: \( 0 .\)