(*) Данное неравенство является фрагментом задания из предварительного списка задач международной олимпиады (IMO — International Mathematical Olympiad) 1979 года:
Первое доказательство (в «А. и м.» — задача 136) демонстрирует рассуждения, основанные на понимании сути антье и мантиссы. То есть доказать неравенство (4.1) можно зная лишь определения антье и мантиссы.
Во втором доказательстве (в «А. и м.» — задача 414) используется тождество \[
\Bigant { \sqrt { 2n^2-1 } } = \Bigant { n \sqrt 2 } ,
\tag {4.2}
\] которое лучше знать заранее. Такой подход предполагает тренированность решателя по теме книги.
Кстати, тождеств, похожих (4.2), в задачнике опубликовано изрядное количество (см. раздел 19. «Натуральные тождества с арифметическим корнем»), и многие из них используются в решениях других задач.
А почему в заголовке сообщения указано, что неравенство (4.1) неочевидное? Да потому что для мантиссы \(
\Bigmant { n \sqrt 2 }
\) существует миноранта \[
f(n) = \dfrac 1 { 2 n \sqrt 2 } .
\] А ведь это удивительный факт, поскольку \(
\sqrt 2
\) — иррациональное число, и можно предположить, что мантиссу \(
\Bigmant { n \sqrt 2 }
\) будет «бросать» по всему интервалу \(
\bigl( 0; \ 1 \bigr) ,
\) и не стоит ожидать какой-нибудь оценки снизу (и сверху).
Это не все!
Нижнюю оценку (4.1) нельзя увеличить (см. задачу 414 — полную формулировку задания из предварительного списка для IMO/1979).
И это еще не все!
Когда данное сообщение было опубликовано в блоге, у меня возник вопрос — а может быть есть и мажоранта для мантиссы \(
\Bigmant { n \sqrt 2 }
\)? Оказывается имеется, например, \[
g(n) = 1 - \dfrac 1 { 3 n \sqrt 2} ,
\] то есть для \(
\forall n \in \mathbb N
\) \[
\Bigmant { n \sqrt 2 } < 1 - \dfrac 1 { 3 n \sqrt 2 } .
\] Замечу, что \( g(n) \) можно прилично «усилить». Вывод мажоранты будет приведен следующем сообщении 8. «Мажоранта для мантиссы».
4. Докажите неравенство \[
\Bigmant { n \sqrt 2 } > \dfrac 1 { 2 n \sqrt 2 }
\mbox{ при } n \in \mathbb N .
\tag {4.1} \]
В сборнике «А. и м.» приводятся два доказательства этого неравенства.\Bigmant { n \sqrt 2 } > \dfrac 1 { 2 n \sqrt 2 }
\mbox{ при } n \in \mathbb N .
\tag {4.1} \]
Первое доказательство (в «А. и м.» — задача 136) демонстрирует рассуждения, основанные на понимании сути антье и мантиссы. То есть доказать неравенство (4.1) можно зная лишь определения антье и мантиссы.
Во втором доказательстве (в «А. и м.» — задача 414) используется тождество \[
\Bigant { \sqrt { 2n^2-1 } } = \Bigant { n \sqrt 2 } ,
\tag {4.2}
\] которое лучше знать заранее. Такой подход предполагает тренированность решателя по теме книги.
Кстати, тождеств, похожих (4.2), в задачнике опубликовано изрядное количество (см. раздел 19. «Натуральные тождества с арифметическим корнем»), и многие из них используются в решениях других задач.
А почему в заголовке сообщения указано, что неравенство (4.1) неочевидное? Да потому что для мантиссы \(
\Bigmant { n \sqrt 2 }
\) существует миноранта \[
f(n) = \dfrac 1 { 2 n \sqrt 2 } .
\] А ведь это удивительный факт, поскольку \(
\sqrt 2
\) — иррациональное число, и можно предположить, что мантиссу \(
\Bigmant { n \sqrt 2 }
\) будет «бросать» по всему интервалу \(
\bigl( 0; \ 1 \bigr) ,
\) и не стоит ожидать какой-нибудь оценки снизу (и сверху).
Это не все!
Нижнюю оценку (4.1) нельзя увеличить (см. задачу 414 — полную формулировку задания из предварительного списка для IMO/1979).
И это еще не все!
Когда данное сообщение было опубликовано в блоге, у меня возник вопрос — а может быть есть и мажоранта для мантиссы \(
\Bigmant { n \sqrt 2 }
\)? Оказывается имеется, например, \[
g(n) = 1 - \dfrac 1 { 3 n \sqrt 2} ,
\] то есть для \(
\forall n \in \mathbb N
\) \[
\Bigmant { n \sqrt 2 } < 1 - \dfrac 1 { 3 n \sqrt 2 } .
\] Замечу, что \( g(n) \) можно прилично «усилить». Вывод мажоранты будет приведен следующем сообщении 8. «Мажоранта для мантиссы».
