«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

9 июля 2015 г.

4. \(\mant{n\sqrt2}>\frac1{2n\sqrt2}\)

(*) Данное неравенство является фрагментом задания из предварительного списка задач международной олимпиады (IMO — International Mathematical Olympiad) 1979 года:
4. Докажите неравенство \[
\Bigmant { n \sqrt 2 } > \dfrac 1 { 2 n \sqrt 2 }
\mbox{ при } n \in \mathbb N .
\tag {4.1} \]
В сборнике «А. и м.» приводятся два доказательства этого неравенства.

Первое доказательство (в «А. и м.» — задача 136) демонстрирует рассуждения, основанные на понимании сути антье и мантиссы. То есть доказать неравенство (4.1) можно зная лишь определения антье и мантиссы.

Во втором доказательстве (в «А. и м.» — задача 414) используется тождество \[
\Bigant { \sqrt { 2n^2-1 } } = \Bigant { n \sqrt 2 } ,
\tag {4.2}
\] которое лучше знать заранее. Такой подход предполагает тренированность решателя по теме книги.

Кстати, тождеств, похожих (4.2), в задачнике опубликовано изрядное количество (см. раздел 19. «Натуральные тождества с арифметическим корнем»), и многие из них используются в решениях других задач.

А почему в заголовке сообщения указано, что неравенство (4.1) не­оче­вид­ное? Да потому что для мантиссы \(
\Bigmant { n \sqrt 2 }
\) существует миноранта \[
f(n) = \dfrac 1 { 2 n \sqrt 2 } .
\] А ведь это удивительный факт, поскольку \(
\sqrt 2
\) — иррациональное число, и можно предположить, что мантиссу \(
\Bigmant { n \sqrt 2 }
\) будет «бросать» по всему интервалу \(
\bigl( 0; \ 1 \bigr) ,
\) и не стоит ожидать какой-нибудь оценки снизу (и сверху).

Это не все!
Нижнюю оценку (4.1) нельзя увеличить (см. задачу 414 — полную формулировку задания из предварительного списка для IMO/1979).

И это еще не все!
Когда данное сообщение было опубликовано в блоге, у меня возник вопрос — а может быть есть и мажоранта для мантиссы \(
\Bigmant { n \sqrt 2 }
\)? Оказывается имеется, например, \[
g(n) = 1 - \dfrac 1 { 3 n \sqrt 2} ,
\] то есть для \(
\forall n \in \mathbb N
\) \[
\Bigmant { n \sqrt 2 } < 1 - \dfrac 1 { 3 n \sqrt 2 } .
\] Замечу, что \( g(n) \) можно прилично «усилить». Вывод мажоранты будет приведен следующем сообщении 8. «Мажоранта для мантиссы».


Автор: И.Л. на 00:48
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.