5. \(\{n\sqrt2\}\leqslant1-\frac1{\alpha n}\)

(*) Найдем наиболее «сильную» мажоранту для мантиссы \( \Bigmant { n \sqrt 2 } \) среди функ­ций вида \[ g (n) = 1 - \dfrac 1 { \alpha n } ,
\mbox { где } \alpha \in \mathbb R_{>1} .
\tag {*}
\] Сформулируем задачу.

5. Определите такие значения \( \alpha > 1 \), для которых при любом на­ту­раль­ном \( n \) выполняется неравенство \[
\Bigmant { n \sqrt 2 }\leqslant 1 - \dfrac 1 { \alpha n } . \]

Решение. Выполним равносильные преобразования: \[
n \sqrt 2 - \Bigant { n \sqrt 2 } \leqslant 1 - \dfrac 1 { \alpha n } ,
\] \[
n \sqrt 2 + \dfrac 1 { \alpha n } \leqslant \Bigant { n \sqrt 2 } + 1 ,
\] \[
2 n^2 +
\underbrace { \dfrac { 2 \sqrt 2 } \alpha + \dfrac 1 { \alpha^2 n^2 } }
_{ A (n) } \leqslant \left( \Bigant { n \sqrt 2 } + 1 \right)^2 .
\] Если \(
A (n) = \dfrac { 2 \sqrt 2 } \alpha + \dfrac 1 { \alpha^2 n^2 } \leqslant 1
\) при \( \forall n \in \mathbb N , \) то равносильные преобразования можно продолжить: \[
2 n^2 < \left( \Bigant { n \sqrt 2 } + 1 \right)^2 ,
\] \[
n \sqrt 2 < \Bigant { n \sqrt 2 } + 1 ,
\] что является свойством антье

\[
x-1 < \ant x \leqslant x
\ \mbox { для } \forall x \in \mathbb R .
\tag {С3}
\]

Важное уточнение: \( A (1) \leqslant 2 \) (разберитесь самостоятельно почему), а вот \( A (2) \leqslant 1 \), из чего следует, что \( A (n) \leqslant 1 \) при \( n \in \mathbb N_{\geqslant 3} .  \)
Не будем здесь приводить решение несложной системы \[
\begin {cases}
A (1) \leqslant 2 ,
\\[4pt]
A (2) \leqslant 1 .
\end {cases}
\] Ответ: \( \alpha \geqslant \sqrt 2 + \dfrac 3 2 . \)
Таким образом, наиболее «сильной» мажорантой для мантиссы \( \Bigmant { n \sqrt 2 } \) среди функций вида (*) является \[
g (n) = 1 - \dfrac 2 { n \left( 2 \sqrt 2 + 3 \right) } ,
\ \mbox { или }
\ g (n) = 1 - \dfrac { 2 \left( 3 - 2 \sqrt 2 \right) } n .
\] Причем только при \( n = 2 \) мантисса и мажоранта равны.