Тождество \(\ant{\frac kp}+\ant{-\frac{k+1}p}=-1\)

(*) При решении одной задачи, которая вскоре будет опубликована в блоге, используется тождество для суммы двух антье (см. задачу 11). Мне представляется важным выделить это тождество и соответствующее ему тождество для суммы двух мантисс в две отдельные задачи.

11. Докажите тождество \[
\ant{\dfrac kp} + \ant{-\dfrac{k+1}p} = -1 ,
\ \mbox { где } p \in \mathbb N , \ k \in \mathbb Z .
\tag {11.1}
\]

12. Докажите тождество \[ \mant{\dfrac kp} + \mant{-\dfrac{k+1}p} = \dfrac {p-1}p ,
\ \mbox { где } p \in \mathbb N , \ k \in \mathbb Z .
\tag {12.1}\]

Доказательство (11.1).\begin{multline*}
\ant{\dfrac kp} + \ant{-\dfrac{k+1}p} =
\ant { -\dfrac {k+1}p + \ant {\dfrac kp}} =
\\
= \ant { -\dfrac kp - \dfrac 1p + \ant {\dfrac kp}} =
\ant { - \dfrac 1p - \mant {\dfrac kp}} = -1 .
\end{multline*} Последнее равенство несложно объяснить. При \( p = 1 \) все понятно. Пусть \( p \geqslant 2 , \) тогда оценка мантиссы \[
0 \leqslant \mant {\dfrac kp}\leqslant \dfrac {p-1}p ,
\tag {11.2}
\] что приводит к неравенству \[
-1 \leqslant - \dfrac 1p - \mant {\dfrac kp} < 0 .
\]

\( \color{gray}{\blacksquare} \)

Примечание. Обязательно ли условие \( k \in \mathbb Z ? \) Может быть перейти к действительным числам? Увы, условие целочисленности обязательное, см. правое неравенство в (11.2).

Указания к (12.1). Выразите мантиссы через соответствующие антье и воспользуйтесь равенством (11.1).