«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

20 июля 2015 г.

Тождество \(\ant{\frac kp}+\ant{-\frac{k+1}p}=-1\)

(*) При решении одной задачи, которая вскоре будет опубликована в блоге, используется тождество для суммы двух антье (см. задачу 11). Мне представляется важным выделить это тождество и соответствующее ему тождество для суммы двух мантисс в две отдельные задачи.
11. Докажите тождество \[
\ant{\dfrac kp} + \ant{-\dfrac{k+1}p} = -1 ,
\ \mbox { где } p \in \mathbb N , \ k \in \mathbb Z .
\tag {11.1}
\]
12. Докажите тождество \[ \mant{\dfrac kp} + \mant{-\dfrac{k+1}p} = \dfrac {p-1}p ,
\ \mbox { где } p \in \mathbb N , \ k \in \mathbb Z .
\tag {12.1}\]
Доказательство (11.1).\begin{multline*}
\ant{\dfrac kp} + \ant{-\dfrac{k+1}p} =
\ant { -\dfrac {k+1}p + \ant {\dfrac kp}} =
\\
= \ant { -\dfrac kp - \dfrac 1p + \ant {\dfrac kp}} =
\ant { - \dfrac 1p - \mant {\dfrac kp}} = -1 .
\end{multline*} Последнее равенство несложно объяснить. При \( p = 1 \) все понятно. Пусть \( p \geqslant 2 , \) тогда оценка мантиссы \[
0 \leqslant \mant {\dfrac kp}\leqslant \dfrac {p-1}p ,
\tag {11.2}
\] что приводит к неравенству \[
-1 \leqslant - \dfrac 1p - \mant {\dfrac kp} < 0 .
\]
\( \color{gray}{\blacksquare} \)

Примечание. Обязательно ли условие \( k \in \mathbb Z ? \) Может быть перейти к действительным числам? Увы, условие целочисленности обязательное, см. правое неравенство в (11.2).

Указания к (12.1). Выразите мантиссы через соответствующие антье и воспользуйтесь равенством (11.1).


Автор: И.Л. на 22:24
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest

Комментариев нет :

Отправить комментарий

Следующее Предыдущее Главная страница
Подписаться на: Комментарии к сообщению ( Atom )

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв 2017 ( 1 )
  • ноя 2016 ( 9 )
  • окт 2016 ( 11 )
  • сен 2016 ( 7 )
  • авг 2016 ( 8 )
  • июл 2016 ( 5 )
  • июн 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр 2016 ( 12 )
  • мар 2016 ( 5 )
  • янв 2016 ( 1 )
  • дек 2015 ( 11 )
  • ноя 2015 ( 11 )
  • окт 2015 ( 17 )
  • сен 2015 ( 13 )
  • авг 2015 ( 12 )
  • июл 2015 ( 14 )
  • июн 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.