Предлагаю еще два натуральных неравенства, аналогичных ранее рассмотренным.
6. Докажите неравенство \[
\dfrac 1 { n \sqrt 3} <
\Bigmant { n \sqrt 3 } \leqslant
1 - \dfrac { 2 - \sqrt 3 } n ,
\tag {6.1}
\]
\dfrac 1 { n \sqrt 3} <
\Bigmant { n \sqrt 3 } \leqslant
1 - \dfrac { 2 - \sqrt 3 } n ,
\tag {6.1}
\]
7. Докажите неравенство \[
\dfrac 1 { 2n} <
\Bigmant { n \sqrt 7 } \leqslant
1 - \dfrac { 3 \left( 8 - 3 \sqrt 7 \right) } n .
\tag {7.1}
\]
Данные неравенства удалось вывести пару дней назад. Однако совсем новыми их назвать нельзя. В книге «А. и м.» приводятся неравенства, послужившие основой для вывода (6.1) и (7.1), см. задачи с белорусских олимпиад 416 (Белоруссия/2000) и 418 (Белоруссия/2005) соответственно. Отмечу, что новизна заключена в формулах мажорант.\dfrac 1 { 2n} <
\Bigmant { n \sqrt 7 } \leqslant
1 - \dfrac { 3 \left( 8 - 3 \sqrt 7 \right) } n .
\tag {7.1}
\]
