«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

31 июля 2015 г.

Вычислите сумму \( \sum \limits _{k=1} ^n \Bigant { \frac{3n-k}2 } \)

(*) На днях увидел на сайте http://math.stackexchange.com следующую задачу.
17. Вычислите сумму \[
\sum_{k=1}^n \ant{ \dfrac{3n-k}2 } ,
\ \mbox { где } n \in \mathbb N .
\tag {17.1}
\]
Решение. Задача заурядная, но есть нюанс — в какой момент перейти к рассмотрению двух вариантов, зависящих от четности числа \( n . \) В большинстве случаев такой переход следует делать как можно позже, поскольку хотелось бы исследовать более простое выражение для четных и нечетных значений \( n . \) \[
\sum_{k=1}^n \ant{ \dfrac{3n-k}2 } =
\sum_{k=1}^n \left( 2n + \ant{ \dfrac{-n-k}2 } \right) =
\]\[
= 2n^2 + \sum_{k=1}^n \ant{ \dfrac{-n-k}2 } =
2n^2 + \sum_{k=n+1}^{2n} \ant{ -\dfrac k2 } =
\]\[
= 2n^2 + \sum_{k=n+1}^{2n} \left( -\dfrac k2 \right) -
\sum_{k=n+1}^{2n} \mant{ -\dfrac k2 } =
\]\[
= \dfrac {5n^2-n}4 - \sum_{k=n+1}^{2n} \mant{ -\dfrac k2 } .
\] Все слагаемые суммы \(
\sum\limits_{k=n+1}^{2n} \mant{ -\frac k2 }
\) равны поочередно либо \( 0 , \) либо \( \frac12 \), причем последнее слагаемое \( ( k = 2n ) \) нулевое. Вычисление этой суммы дает следующий результат: \[
\sum_{k=n+1}^{2n} \mant{ -\dfrac k2 } =
\begin{cases}
\frac n4 , & \mbox {если } n \mbox { — четное} ,
\\
\frac {n-1}4 , & \mbox {если } n \mbox { — нечетное} .
\end{cases}
\]
Ответ: \(
\displaystyle
\ \sum_{k=1}^n \ant{ \dfrac{3n-k}2 } =
\dfrac {5n^2-2n+b}4 ,
\) где \( b \in \bigl\{ 0; \ 1 \bigr\}, \) \( b \equiv n \pmod 2 . \)



Автор: И.Л. на 16:06
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.