Вычислите сумму \( \sum \limits _{k=1} ^n \Bigant { \frac{3n-k}2 } \)

(*) На днях увидел на сайте http://math.stackexchange.com следующую задачу.

17. Вычислите сумму \[
\sum_{k=1}^n \ant{ \dfrac{3n-k}2 } ,
\ \mbox { где } n \in \mathbb N .
\tag {17.1}
\]

Решение. Задача заурядная, но есть нюанс — в какой момент перейти к рассмотрению двух вариантов, зависящих от четности числа \( n . \) В большинстве случаев такой переход следует делать как можно позже, поскольку хотелось бы исследовать более простое выражение для четных и нечетных значений \( n . \) \[
\sum_{k=1}^n \ant{ \dfrac{3n-k}2 } =
\sum_{k=1}^n \left( 2n + \ant{ \dfrac{-n-k}2 } \right) =
\]\[
= 2n^2 + \sum_{k=1}^n \ant{ \dfrac{-n-k}2 } =
2n^2 + \sum_{k=n+1}^{2n} \ant{ -\dfrac k2 } =
\]\[
= 2n^2 + \sum_{k=n+1}^{2n} \left( -\dfrac k2 \right) -
\sum_{k=n+1}^{2n} \mant{ -\dfrac k2 } =
\]\[
= \dfrac {5n^2-n}4 - \sum_{k=n+1}^{2n} \mant{ -\dfrac k2 } .
\] Все слагаемые суммы \(
\sum\limits_{k=n+1}^{2n} \mant{ -\frac k2 }
\) равны поочередно либо \( 0 , \) либо \( \frac12 \), причем последнее слагаемое \( ( k = 2n ) \) нулевое. Вычисление этой суммы дает следующий результат: \[
\sum_{k=n+1}^{2n} \mant{ -\dfrac k2 } =
\begin{cases}
\frac n4 , & \mbox {если } n \mbox { — четное} ,
\\
\frac {n-1}4 , & \mbox {если } n \mbox { — нечетное} .
\end{cases}
\]
Ответ: \(
\displaystyle
\ \sum_{k=1}^n \ant{ \dfrac{3n-k}2 } =
\dfrac {5n^2-2n+b}4 ,
\) где \( b \in \bigl\{ 0; \ 1 \bigr\}, \) \( b \equiv n \pmod 2 . \)