«Антье и мантисса. Сборник задач с решениями»

В блоге публикуются рецензии на книгу, обсуждения критических замечаний, ответы на часто задаваемые вопросы, комментарии к задачам из сборника, а также материалы, не вошедшие в книгу, формулировки и решения новых задач.
http://keldysh.ru/e-biblio/entier — электронная версия книги в формате PDF (редакция от 20.11.2017).

30 июля 2015 г.

Вы­чис­ли­те сумму \( \sum \limits _{k=0} ^{pq-1} (-1)^{[k/p]+[k/q]} , \) где \( pq \) — нечетное число

(*) Вторая часть задачи математической олимпиады среди студентов уни­вер­си­те­тов в 2013 году (А.Болбот, Но­во­си­бир­ский государственный университет). Первая часть — задача 13.
16. Пусть \( p \) и \( q \) — взаимно простые числа и \( pq \) — нечетное число. Вы­чис­ли­те сумму \[
\sum_{k=0}^{pq-1}
(-1)^{\left[ \frac kp \right] + \left[ \frac kq \right]} .
\tag {16.1}
\]
Решение. Поскольку \( pq \) — нечетное число, то числа \( p \) и \( q \) — также нечетные. Теперь вас ожидает красивейший трюк \[
\ant { \dfrac kp } + \ant { \dfrac kq} \equiv
p \cdot \ant { \dfrac ip } + q \cdot \ant { \dfrac iq} \pmod 2 \equiv \ldots
\] Так как сумма \( p+q \) — четная, то \[
\ldots \equiv - p \cdot \mant { \dfrac ip } - q \cdot \mant { \dfrac iq} \equiv
p \cdot \mant { \dfrac ip } + q \cdot \mant { \dfrac iq} \equiv
p_k + q_k \pmod 2 ,
\] где \( p_k \) и \( q_k \) — остатки от деления \( k \) на \( p \) и \( q \) соответственно.
Тогда \[
\sum_{k=0}^{pq-1}
(-1)^{\left[ \frac kp \right] + \left[ \frac kq \right]} =
\sum_{k=0}^{pq-1}
(-1)^{p_k + q_k} = \ldots
\] Согласно утверждению, доказанном в задаче 15, множество точек \( ( p_k; \ q_k ) \) является множеством точек \( ( i; \ j ) , \) где \( i = 0, \, 1, \, 2, \ \ldots p-1 \) и \( j = 0, \, 1, \, 2, \ \ldots q-1 . \) Значит, \[
\ldots = \sum_{i=0}^{p-1}
\sum_{j=0}^{q-1}
(-1)^{i+j} = 1 .
\] Ответ: \( 1 .\)


Автор: И.Л. на 18:50
Отправить по электронной почте Написать об этом в блоге Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Поделиться в Pinterest
Следующее Предыдущее Главная страница

Автор

Автор
СЕМЕНОВ
Игорь Ленидович,
науч.сотр-к (1983-2018)
ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

Разделы

  • Обозначения
  • Определения
  • Свойства
  • Cообщения

Просмотров за неделю

Архив

  • янв. 2017 ( 1 )
  • нояб. 2016 ( 9 )
  • окт. 2016 ( 11 )
  • сент. 2016 ( 7 )
  • авг. 2016 ( 8 )
  • июл. 2016 ( 5 )
  • июн. 2016 ( 5 )
  • мая 2016 ( 10 )
  • апр. 2016 ( 12 )
  • мар. 2016 ( 5 )
  • янв. 2016 ( 1 )
  • дек. 2015 ( 11 )
  • нояб. 2015 ( 11 )
  • окт. 2015 ( 17 )
  • сент. 2015 ( 13 )
  • авг. 2015 ( 12 )
  • июл. 2015 ( 14 )
  • июн. 2015 ( 2 )
Технологии Blogger.