Множество точек \( \left( \mant {\frac kp}; \ \mant {\frac kq} \right) , \) где \( p \) и \( q \) — взаимно простые числа, \( k = 0, \, 1, \, \ldots , \, pq-1 \)

(*) Рассмотрим задачу на одно из равносильных утверждений для мантисс

\[ \mant x = \mant y
\ \ \Longleftrightarrow
\ \ \mant {x-y} = 0 ,
\ \mbox { где } x, \, y \in \mathbb R .
\tag {С26}
\]

14. Пусть \( p \) и \( q \) — взаимно простые числа, целое число \( k \) принимает зна­че­ния от \( 0 \) до \( pq-1 \) включительно. Докажите, что все упорядоченные пары \( \left( \mant {\frac kp}; \ \mant {\frac kq} \right) \) различны.

Доказательство. Воспользуемся методом от противного. Предположим, что существуют два целых числа \( n \) и \( m \) такие, что \(
0 \leqslant n < m \leqslant pq-1 \) и \[
\mant {\frac np} = \mant {\frac mp} , \quad
\ \mant {\frac nq} = \mant {\frac mq} .
\] Согласно (С26) имеем \[
\mant {\frac {m-n}p} = 0 , \quad
\ \mant {\frac {m-n}q} = 0 ,
\] то есть \( m-n \) делится нацело и на \( p \), и на \( q . \) Тогда \( m-n \) является общим кратным для \( p \) и \( q . \) Следовательно, \( m-n \geqslant \mbox {НОК} \, (p; \, q) = pq . \) Условие \( m \geqslant pq \) противоречит предположению.

\( \color{gray}{\blacksquare} \)

Приведем другую формулировку задачи 14.

15. Пусть \( p \) и \( q \) — взаимно простые числа, целое число \( k \) принимает зна­че­ния от \( 0 \) до \( pq-1 \) включительно, \( p_k \ (q_k) \) — остаток от деления \( k \) на \( p \ (q) \). Докажите, что точки с координатами \( ( p_k; \ q_k ) \) образуют целочисленную решетку \( p \times q \) без пропусков и наложений.

При такой формулировке доказательство сводится к применению китайской теоремы об остатках.
Примечание. Поскольку \( \dfrac {p_k} p = \mant {\dfrac kp} \) и \( \dfrac {q_k} q = \mant {\dfrac kq} , \) то можно говорить об идентичности задач 14 и 15.