Еще одна хитровато сформулированная задача (Санкт-Петербург/2006).
Решение. Обозначим \(
f (x) = \ant x + \ant {3x} + \ant {6x} .
\) Нам пригодятся два очевидных свойства функции \( f (x) : \) \[
f (x + 1) = f (x) + 10 ,
\tag {9.1}
\]\[
0 \leqslant f (x) < 10
\mbox { при } 0 \leqslant x < 1 .
\tag {9.2}
\] Равенство (9.1) следует из свойства антье
Воспользуемся методом интервалов (описание метода приводится в книге в разделе 15.), для чего разобьем полуинтервал \( [ 0; \ 1 ) \) точками, в которых \( f (x) \) меняет значение. Это точки: \( 0 , \) \( \frac16 , \) \( \frac13 , \) \( \frac12 , \) \( \frac23 , \) \( \frac56 , \) см. рис.9.1. При \( x = \frac16 \) увеличивается на \( 1 \) только антье \( \ant {6x}, \) а при \( x = \frac13 \) увеличиваются на \( 1 \) каждое из двух антье \( \ant {3x} \) и \( \ant {6x} \) и т.д.
На полуинтервале \( [0; \ \frac16 ) \) легко определяется \( f (x) = 0 . \) Далее вычисляем значения функции \( f (x) \) слева направо, увеличивая на \( 1 \) или \( 2 \) в зависимости от числа отмеченных точек. Значения, принимаемые функцией \( f (x) , \) отмечены на рисунке синим цветом.
Ответ: \( \bigl\{ 2, \ 5, \ 8, \ 9 \bigr\} . \)
Примечание 1. В формулировке задачи возможно условие \(
x \in \mathbb R .
\)
Примечание 2. Предложу другую формулировку задания.
9. На какие цифры не может оканчиваться число \(
\ant x + \ant {3x} + \ant {6x} ,
\) если \( x > 0 \) — вещественное число.
\ant x + \ant {3x} + \ant {6x} ,
\) если \( x > 0 \) — вещественное число.
Решение. Обозначим \(
f (x) = \ant x + \ant {3x} + \ant {6x} .
\) Нам пригодятся два очевидных свойства функции \( f (x) : \) \[
f (x + 1) = f (x) + 10 ,
\tag {9.1}
\]\[
0 \leqslant f (x) < 10
\mbox { при } 0 \leqslant x < 1 .
\tag {9.2}
\] Равенство (9.1) следует из свойства антье
\[
\ant { y+n } = \ant y + n ,
\ \mbox { где } y \in \mathbb R \mbox { и } n \in \mathbb Z .
\tag {С4}
\]
Неравенство (9.2) следует из равносильного утверждения\ant { y+n } = \ant y + n ,
\ \mbox { где } y \in \mathbb R \mbox { и } n \in \mathbb Z .
\tag {С4}
\]
\[
y < n \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ant y < n ,
\ \mbox { где } y \in \mathbb R \mbox { и } n \in \mathbb Z .
\tag {С12}
\]
Согласно (9.1) и (9.2) задача свелась к определению чисел (они же искомые цифры), которые не принимает функция \( f (x) \) при \( 0 \leqslant x < 1 . \)y < n \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ant y < n ,
\ \mbox { где } y \in \mathbb R \mbox { и } n \in \mathbb Z .
\tag {С12}
\]
Воспользуемся методом интервалов (описание метода приводится в книге в разделе 15.), для чего разобьем полуинтервал \( [ 0; \ 1 ) \) точками, в которых \( f (x) \) меняет значение. Это точки: \( 0 , \) \( \frac16 , \) \( \frac13 , \) \( \frac12 , \) \( \frac23 , \) \( \frac56 , \) см. рис.9.1. При \( x = \frac16 \) увеличивается на \( 1 \) только антье \( \ant {6x}, \) а при \( x = \frac13 \) увеличиваются на \( 1 \) каждое из двух антье \( \ant {3x} \) и \( \ant {6x} \) и т.д.
На полуинтервале \( [0; \ \frac16 ) \) легко определяется \( f (x) = 0 . \) Далее вычисляем значения функции \( f (x) \) слева направо, увеличивая на \( 1 \) или \( 2 \) в зависимости от числа отмеченных точек. Значения, принимаемые функцией \( f (x) , \) отмечены на рисунке синим цветом.
Рис. 9.1. Интервалы значений \( f (x) = \ant x + \ant {3x} + \ant {6x} \)
Ответ: \( \bigl\{ 2, \ 5, \ 8, \ 9 \bigr\} . \)
Примечание 1. В формулировке задачи возможно условие \(
x \in \mathbb R .
\)
Примечание 2. Предложу другую формулировку задания.
10. Найдите область значений функции \[
f (x) = \mant { \dfrac {\ant x + \ant {3x} + \ant {6x}} {10} } ,
\] определенной на множестве действительных чисел.
f (x) = \mant { \dfrac {\ant x + \ant {3x} + \ant {6x}} {10} } ,
\] определенной на множестве действительных чисел.
