Вычислите сумму \( \sum \limits _{k=1} ^n \Bigant { \frac{3n-k}2 } \)

(*) На днях увидел на сайте http://math.stackexchange.com следующую задачу.

17. Вычислите сумму \[
\sum_{k=1}^n \ant{ \dfrac{3n-k}2 } ,
\ \mbox { где } n \in \mathbb N .
\tag {17.1}
\]

Вы­чис­ли­те сумму \( \sum \limits _{k=0} ^{pq-1} (-1)^{[k/p]+[k/q]} , \) где \( pq \) — нечетное число

(*) Вторая часть задачи математической олимпиады среди студентов уни­вер­си­те­тов в 2013 году (А.Болбот, Но­во­си­бир­ский государственный университет). Первая часть — задача 13.

16. Пусть \( p \) и \( q \) — взаимно простые числа и \( pq \) — нечетное число. Вы­чис­ли­те сумму \[
\sum_{k=0}^{pq-1}
(-1)^{\left[ \frac kp \right] + \left[ \frac kq \right]} .
\tag {16.1}
\]

Множество точек \( \left( \mant {\frac kp}; \ \mant {\frac kq} \right) , \) где \( p \) и \( q \) — взаимно простые числа, \( k = 0, \, 1, \, \ldots , \, pq-1 \)

(*) Рассмотрим задачу на одно из равносильных утверждений для мантисс

\[ \mant x = \mant y
\ \ \Longleftrightarrow
\ \ \mant {x-y} = 0 ,
\ \mbox { где } x, \, y \in \mathbb R .
\tag {С26}
\]

14. Пусть \( p \) и \( q \) — взаимно простые числа, целое число \( k \) принимает зна­че­ния от \( 0 \) до \( pq-1 \) включительно. Докажите, что все упорядоченные пары \( \left( \mant {\frac kp}; \ \mant {\frac kq} \right) \) различны.

Вы­чис­ли­те сумму \( \sum \limits _{k=0} ^{pq-1} (-1)^{[k/p]+[k/q]} , \) где \( pq \) — четное число

(*) На математической олимпиаде среди студентов университетов в 2013 году была предложена следующая задача (2-ая из 5), автор — А.Болбот, Но­во­си­бир­ский государственный университет. Разделим задачу на две части с незначительными изменениями.

13. Пусть \( p \) и \( q \) — взаимно простые числа и \( pq \) — четное число. Вы­чис­ли­те сумму \[
\ \ \sum\limits_{k=0}^{pq-1}
(-1)^{\left[ \frac kp \right] + \left[ \frac kq \right]} .
\tag {13.1}
\]

Тождество \(\ant{\frac kp}+\ant{-\frac{k+1}p}=-1\)

(*) При решении одной задачи, которая вскоре будет опубликована в блоге, используется тождество для суммы двух антье (см. задачу 11). Мне представляется важным выделить это тождество и соответствующее ему тождество для суммы двух мантисс в две отдельные задачи.

11. Докажите тождество \[
\ant{\dfrac kp} + \ant{-\dfrac{k+1}p} = -1 ,
\ \mbox { где } p \in \mathbb N , \ k \in \mathbb Z .
\tag {11.1}
\]

12. Докажите тождество \[ \mant{\dfrac kp} + \mant{-\dfrac{k+1}p} = \dfrac {p-1}p ,
\ \mbox { где } p \in \mathbb N , \ k \in \mathbb Z .
\tag {12.1}\]

\( \ant x+\ant{3x}+\ant{6x} \)

Еще одна хитровато сформулированная задача (Санкт-Петербург/2006).

9. На какие цифры не может оканчиваться число \(
\ant x + \ant {3x} + \ant {6x} ,
\) если \( x > 0 \) — вещественное число.

8. \( \bigant{100a}+\bigant{71a} \)

В последние годы на санкт-петербургских олимпиадах были опубликованы десятки интереснейших задач на тему антье и мантисса. Решим одну из таких задач (Санкт-Петербург/2006), довольно несложную, но занятную. Приведу сначала формулировку без изменений.

8. Докажите, что ни при каком \( a \in \mathbb R_{>0} \) число \( \bigant {100a} + \bigant {71a} \) не может иметь вид \( 171k + 170 , \) где \( k \in \mathbb N . \)

\( \mant{n\sqrt3} \mbox{ и } \mant{n\sqrt7} \)

Предлагаю еще два натуральных неравенства, аналогичных ранее рас­смот­рен­ным.

6. Докажите неравенство \[
\dfrac 1 { n \sqrt 3} <
\Bigmant { n \sqrt 3 } \leqslant
1 - \dfrac { 2 - \sqrt 3 } n ,
\tag {6.1}
\]

7. Докажите неравенство \[
\dfrac 1 { 2n} <
\Bigmant { n \sqrt 7 } \leqslant
1 - \dfrac { 3 \left( 8 - 3 \sqrt 7 \right) } n .
\tag {7.1}
\]

Данные неравенства удалось вывести пару дней назад. Однако совсем новыми их назвать нельзя. В книге «А. и м.» приводятся неравенства, послужившие основой для вывода (6.1) и (7.1), см. задачи с белорусских олимпиад 416 (Белоруссия/2000) и 418 (Белоруссия/2005) соответственно. Отмечу, что новизна заключена в формулах мажорант.

5. \(\{n\sqrt2\}\leqslant1-\frac1{\alpha n}\)

(*) Найдем наиболее «сильную» мажоранту для мантиссы \( \Bigmant { n \sqrt 2 } \) среди функ­ций вида \[ g (n) = 1 - \dfrac 1 { \alpha n } ,
\mbox { где } \alpha \in \mathbb R_{>1} .
\tag {*}
\] Сформулируем задачу.

5. Определите такие значения \( \alpha > 1 \), для которых при любом на­ту­раль­ном \( n \) выполняется неравенство \[
\Bigmant { n \sqrt 2 }\leqslant 1 - \dfrac 1 { \alpha n } . \]

4. \(\mant{n\sqrt2}>\frac1{2n\sqrt2}\)

(*) Данное неравенство является фрагментом задания из предварительного списка задач международной олимпиады (IMO — International Mathematical Olympiad) 1979 года:

4. Докажите неравенство \[
\Bigmant { n \sqrt 2 } > \dfrac 1 { 2 n \sqrt 2 }
\mbox{ при } n \in \mathbb N .
\tag {4.1} \]

Вывести формулу по графику функции

Для решения следующего задания необходимо хорошо ориентироваться в теме «Геометрические преобразования графиков» (см. Приложение Г в сборнике «А. и м.»).

3. Выведите формулы функций \( f(x) \) и \( g(x) \), графики которых пред­став­ле­ны на рисунках:

Функции \( f(x) \) и \( g(x) \) — «почти» антье и мантисса, лишь выколотые точки расположены не на своих местах.

Гадкий утенок

Пару лет назад, просматривая один из неофициальных сайтов олим­пиад­ных задач с решениями, я наткнулся на следующее уравнение (олимпиада «Ло­мо­но­сов» 2008 год — 9-ая задача из 10, в «А. и м.» — задача 118):

2. Найдите все натуральные значения \( n \), удовлетворяющие равенству
\[ 2008 \ant { n \sqrt {1004^2+1} } = n \ant { 2008 \sqrt {1004^2+1} } . \]

О подборе задач

В книге задачи сгруппированы по методам решений. Это традиционный под­ход, при котором в начале раздела приводится описание метода и не­сколь­ко примеров, затем уже задачи для самостоятельного решения. В за­дач­ни­ке «Антье и мантисса» опубликованы полные и подробные решения ко всем задачам (разумеется, в аналогичных задачах указывается ссылка решение первой подобной задачи).

Поскольку тема «антье  и мантисса» в большей степени олимпиадная, от­бор задач происходил в основном по олимпиадным сборникам и ма­те­риа­лам, размещенным в интернете. Олимпиадные задачи оказались раз­лич­ны­ми как по сложности, так и по оригинальности (новизне) заданий.

Задача-любимчик

Мне нравятся задачи, которые просто формулируются, имеют не­три­виаль­ный ответ, но при этом решаются не слишком сложно. По теме «антье и мантисса» таких задач в избытке. Но приводимая ниже задача (в «А. и м.» — задача 69) была для меня одной из поворотных.

1. Выведите формулу округления действительного числа до ближайшего целого с вариантом округления числа с 0,5 в дробной части до меньшего целого.