\( \operatorname {sign} (x) \)

Интересная формула получилась у меня на днях.
Математика безгранична!

161. Выведите формулу \[
\operatorname {sign} (x) =
\ant {\dfrac { \ant x - \ant {-x}}
{ \Bigl| \ant x - \ant {-x} \Bigr| + \frac 12} +
\dfrac 12} ,
\] где \(
\operatorname {sign} (x) \) — функция знак действительного числа \[
\operatorname {sign} (x) =
\begin {cases}
\ \ \,1, & \mbox {если } x > 0,
\\
\ \ \, 0, & \mbox {если } x = 0,
\\
-1, & \mbox {если } x < 0.
\end {cases}
\]

\( 2 a_n = n + a_{a_n} \), где \( a_n = \bigant { n \sqrt 2} \)

Числовая последовательность \(
\bigl\{ a_n \bigr\} = \bigant { n \sqrt 2}
\) встречается в «А. и м.» в нескольких задачах. Следующее оригинальное уравнение взято из группы The Mathematical Olympiads (формулировка изменена), при его решении не используются факты, доказанные в опубликованных задачах из сборника.

160. Найдите все натуральные значения \( n \) такие, что \[
2 a_n = n + a_{a_n} ,
\quad \mbox {где }
a_n = \bigant { n \sqrt 2} .
\tag {160.1}
\]

\( \ant { \dfrac {3x - 1}4 } + \ant { \dfrac {3 (3x - 1)} 4 } + \ant { \dfrac {9x + 1} {12} } + \ant { \dfrac {9x + 5} {12} } = \dfrac {3x - 1}4 \)

Как известно, имеет место запрет для «некоторых» пользователей на доступ к социальной сети www.linkedin.com. Наивно прождав впустую разумного разрешения данной ситуации, я решил продолжить мониторить группу The Mathematical Olympiads, пусть и менее удобным способом ...
Предлагаю свежую задачу на тождество Эрмита.

159. Решите уравнение \[
\ant { \dfrac {3x - 1}4 } +
\ant { \dfrac {3 (3x - 1)}4 } +
\ant { \dfrac {9x + 1} {12} } +
\ant { \dfrac {9x + 5} {12} } =
\dfrac {3x - 1}4 .
\]